Простой алгоритм нахождения экстремумов..
- Находим производную функции
- Приравниваем эту производную к нулю
- Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
- Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
- Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.
Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно . Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом , а если с минуса на плюс, то минимумом .
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.
Рассмотрим пример
Находим производную и приравниваем её к нулю:
Полученные значения переменных наносим на
координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну
например, для первого возьмём
-2
,
тогда производная будет равна
-0,24
,
для второго возьмём
0
, тогда
производная будет
2
, а для третьего возьмём
2
, тогда производная будет
-0,24. Проставляем соответствующие знаки.
Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.
Рассмотрим два зубца хорошо всем известного профиля пилы. Направим ось вдоль ровной стороны пилы, а ось - перпендикулярно к ней. Получим график некоторой функции, изображенный на рис. 1.
Совершенно очевидно, что и в точке , и в точке значения функции оказываются наибольшими в сравнении со значениями в соседних точках справа и слева, а в точке - наименьшим в сравнении с соседними точками. Точки называются точками экстремума функции (от латинского extremum - «крайний»), точки и - точками максимума, а точка - точкой минимума (от латинских maximum и minimum - «наибольший» и «наименьший»).
Уточним определение экстремума.
Говорят, что функция в точке имеет максимум, если найдется интервал, содержащий точку и принадлежащий области определения функции, такой, что для всех точек этого интервала оказывается . Соответственно функция в точке имеет минимум, если для всех точек некоторого интервала выполняется условие .
На рис. 2 и 3 приведены графики функций, имеющие в точке экстремум.
Обратим внимание на то, что по определению точка экстремума должна лежать внутри промежутка задания функции, а не на его конце. Поэтому для функции, изображенной на рис. 1, нельзя считать, что в точке она имеет минимум.
Если в данном определении максимума (минимума) функции заменить строгое неравенство на нестрогое , то получим определение нестрогого максимума (нестрогого минимума). Рассмотрим для примера профиль вершины горы (рис. 4). Каждая точка плоской площадки - отрезка является точкой нестрогого максимума.
В дифференциальном исчислении исследование функции на экстремумы очень эффективно и достаточно просто осуществляется с помощью производной. Одна из основных теорем дифференциального исчисления, устанавливающая необходимое условие экстремума дифференцируемой функции, - теорема Ферма (см. Ферма теорема). Пусть функция в точке имеет экстремум. Если в этой точке существует производная , то она равна нулю.
На геометрическом языке теорема Ферма означает, что в точке экстремума касательная к графику функции горизонтальна (рис. 5). Обратное утверждение, разумеется, неверно, что показывает, например, график на рис. 6.
Теорема названа в честь французского математика П. Ферма, который одним из первых решил ряд задач на экстремум. Он еще не располагал понятием производной, но применял при исследовании метод, сущность которого выражена в утверждении теоремы.
Достаточным условием экстремума дифференцируемой функции является смена знака производной. Если в точке производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. ее убывание сменяется возрастанием, то точка будет точкой минимума. Напротив, точка будет точкой максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, т.е. переходит от возрастания к убыванию.
Точка, где производная функции равна нулю, называется стационарной. Если исследуется на экстремум дифференцируемая функция, то следует найти все ее стационарные точки и рассмотреть знаки производной слева и справа от них.
Исследуем на экстремум функцию .
Найдем ее производную: .
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX
§ 205. Экстремальные значения функции
В этом параграфе мы изучим некоторые вопросы поведения функции у = f (х ) в интервале [а, b ]. При этом, конечно, мы будем предполагать, что функция f (х ) определена в каждой точке этого интервала.
Наибольшее из всех тех значений, которые принимает функция у = f (х ) в интервале [а, b ], называется ее абсолютным максимумом, а наименьшее - абсолютным минимумом в данном интервале.
Например, для функции у = f (х ) , графически представленной на рисунке 274, абсолютным минимумом в интервале является значение f (0) = 1, а абсолютным максимумом - значение f (6) =5.
Наряду с абсолютным максимумом и абсолютным минимумом в математике часто говорят о локальных (т. е. местных) максимумах и минимумах.
Точка х = с , лежащая внутри интервала [а, b ], называется точкой локального максимума функции у = f (х ) , если для всех значений х , достаточно близких к с ,
f (х ) < f (с ) . (1)
Значения функции у = f (х ) в точках ее локальных максимумов называются локальными максимумами этой функции.
Например, для функции у = f (х ) , графически представленной на рисунке 274, точками локального максимума являются точки х = 2 и х = 6, а самими локальными максимумами - значения
f (2) = 3 и f (6) = 5.
В точках х = 2 и х = 6 функция f (х ) принимает значения, большие, чем в соседних точках, достаточно близких к ним:
f (2) >f (х ); f (6) > f (х ).
Для функции у = f (х ) , графически представленной на рисунке 275, точкой локального максимума будет, например, точка х = с . Для всех х , достаточно близких к с ,
f (х ) = f (с ) ,
так что условие (1) выполняется.
Точка х = x 1 также является точкой локального максимума. Для всех значений х , достаточно близких к x 1 f (х ) < f (x 1), если х < x 1 , и f (х ) = f (x 1), если х > x 1 . Следовательно, и в этом случае f (х ) < f (x 1). А вот точка х = x 2 уже не будет точкой локального максимума. Левее ее f (х ) = f (x 2), но правее ее f (х ) > f (x 2),. Поэтому условие (1) не выполняется.
Точка х = с , лежащая внутри интервала [а, b ], называется точкой локального минимума функции у = f (х ), если для всех значений х , достаточно близких к с,
f (х ) > f (с ) . (2)
Значения функции в точках еe локальных минимумов называются локальными минимумами этой функции.
Например, для функции у = f (х ) , графически представленной на рисунке 274, точкой локального минимума является точка х = 3, а самим локальным минимумом - значение f (3) = 2.
Для функции, графически представленной на рисунке 275, точкой локального минимума будет, например, точка х = x 2 . Для всех значений х , достаточно близких к x 2 , f (х ) = f (x 2), если х < x 2 , и f (х ) > f (x 2), если х > x 2 . Следовательно, условие f (х ) > f (x 2) выполняется.
Точка х = с , отмеченная нами выше как точка локального максимума, является вместе с тем и точкой локального минимума. Ведь для всех точек х , достаточно близких к ней,
f (х ) = f (с ),
и потому формально неравенство f (х ) > f (с ) выполняется.
Точки минимумов и точки максимумов функции f (х ) называются точками экстремумов этой функции. Значения функции f (х ) в точках экстремумов называются экстремальными значениями этой функции.
Рисунок 274 показывает различие между абсолютными и локальными экстремумами. Функция у = f (х ) , изображенная на этом рисунке, имеет в точке х = 2 локальный максимум, который не является абсолютным максимумом в интервале . Точно так же и точке х = 3 эта функция имеет локальный минимум, не являющийся абсолютным минимумом в интервале .
Если абсолютный максимум функции у = f (х ) в интервале [а, b ] достигается во внутренней точке этого интервала, то этот абсолютный максимум является, очевидно, и локальным максимумом (см., например, рис. 274 в точке х = 6). Но может случиться, что этот абсолютный максимум достигается не внутри интервала [a, b ], а в какой-нибудь крайней его точке (рис. 276).
Тогда он не является локальным максимумом. Отсюда вытекает следующее правило для нахождения абсолютного максимума функции у = f (х ) в интервале [a, b ],
1. Находим все локальные максимумы функции у = f (х ) в данном интервале.
2. К полученным значениям добавляем значения этой функции в концах данного интервала, то есть значения f (а ) и f (b ).
Наибольшее из всех этих значений и даст нам абсолютный максимум функции у = f (х ) в интервале [a, b ] . Аналогично находится и абсолютный минимум функции у = f (х ) в интервале [a, b ].
Пример. Найти все локальные экстремумы функции у = x 2 - 2х - 3. Каковы наибольшее и наименьшее значения этой функции в интервале ?
Преобразуем данную функцию, выделив полный квадрат:
у = x 2 - 2х + 1 -4 = (х - 1) 2 - 4.
Теперь легко построить ее график. Это будет направленная вверх парабола с вершиной в точке (1, -4) (рис. 277).
Единственной точкой локального экстремума является точка х = 1. В этой точке функция имеет локальный минимум, равный -4. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения данной функции в интервале , заметим, что при x = 0 у = - 3, а при х = 5 у = 12. Из трех значений -4, -3 и 12 наименьшим является -4, а наибольшим 12. Таким образом, наименьшее значение (абсолютный минимум) данной функции в интервале равно -4; оно достигается при х = 1. Наибольшее значение (абсолютный максимум) данной функции в интервале равно 12; оно достигается при х = 5.
Упражнения
1589. Какие из известных вам функций на всей числовой прямой:
а) совсем не имеют локальных экстремумов;
б) имеют ровно один локальный экстремум;
в) имеют бесконечное множество локальных экстремумов?
В упражнениях № 1590-1600 найти точки локальных экстремумов и сами локальные экстремумы данных функций. Выяснить, какие это экстремумы (максимумы или минимумы):
Найти абсолютные экстремумы данных функций в указанных интервалах (№ 1601-1603):
1601. у = - 2x 2 - 3x - 1 в интервале | х | < 2.
1602. у = |x 2 + 5x + 6| в интервале [- 5, 4].
1603. у = sin x - cos x в интервале [- π / 3 , π / 3 ]
1604. Найти абсолютные экстремумы функции
у = (х - 3) (х - 5)
в интервалах.
Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика . К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.
В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.
Навигация по странице.
Возрастание и убывание функции на интервале.
Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение убывающей функции.
Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .
К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .
Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .
Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .
Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .
Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.
На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.
Достаточные условия возрастания и убывания функции.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
- если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
- если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.
Пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение.
На первом шаге нужно найти область определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .
Переходим к нахождению производной функции:
Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2
, а знаменатель обращается в ноль при x=0
. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.
Таким образом, и .
В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.
Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.
Ответ:
Функция возрастает при , убывает на интервале (0;2] .
Достаточные условия экстремума функции.
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.
Первое достаточное условие экстремума.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.
Другими словами:
Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.
- Находим область определения функции.
- Находим производную функции на области определения.
- Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
- Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
- Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.
Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.
Пример.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .
Находим производную:
Нулями числителя являются точки x=-1
и x=5
, знаменатель обращается в ноль при x=2
. Отмечаем эти точки на числовой оси
Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .
Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично
Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.
Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .
В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .
Графическая иллюстрация.
Ответ:
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .
Пример.
Найдите точки экстремума и экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:
Найдем производную функции:
В точке x=0
производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:
В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0
(смотрите раздел исследование функции на непрерывность):
Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:
Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6
.
То есть,
Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются , точками максимума являются .
Вычисляем соответствующие минимумы функции
Вычисляем соответствующие максимумы функции
Графическая иллюстрация.
Ответ:
.
Второй признак экстремума функции.
Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Урок на тему: "Нахождение точек экстремумов функций. Примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.
4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.
Введение в экстремумы функций
Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:
Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого - опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:
Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.
Посмотрим на график вот такой функции:
Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 - это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 - это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).
Точки минимума и максимума
Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).
Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).
Ребята, а что такое окрестность?
Определение: Окрестность точки - множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.
Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.
Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка минимума.
Ребята, давайте введем обозначения:
Y min - точка минимума,
y max - точка максимума.
Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.
Экстремумы функции
Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.
Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.
Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.
Как же искать экстремумы функции?
Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).
Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.
Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.
Как вычислять экстремумы?
Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:
Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.
На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.
Обобщим полученные знания утверждением:
Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:
Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:
Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:
- Найти производную y’.
- Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
- Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
- По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.
Примеры нахождения точки экстремумов
1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x - x 3
Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 12 - 3x 2 ,
б) y"= 0, при x= ±2,
Точка x= -2 - точка минимума функции, точка x= 2 - точка максимума функции.
Ответ: x= -2 - точка минимума функции, x= 2 - точка максимума функции.
2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.
Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:а) б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя, Область определения функции: , в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю: в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= 3 - точка минимума функции.
Ответ: x= 3 - точка минимума функции.
3) Найти точки экстремума функции y= x - 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.
Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -5π/6 - точка максимума функции.
Точка x= -π/6 - точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 - точка максимума функции, x= -π/6 - точка минимума функции.
4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:а)
б) найдем значения в которой производная равна нулю: y"= 0 при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 - точка минимума функции.
В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 - точки минимума функции.
Задачи для самостоятельного решения
а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5x 3 - 15x - 5.б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) - x при π ≤ x ≤ 3π.
г) Найти точки экстремума функции и определить их характер: