Для кинематического описания процесса вращения твердого тела нужно ввести такие понятия как угловое перемещение Δ φ , угловое ускорение ε и угловая скорость ω :
ω = ∆ φ ∆ t , (∆ t → 0) , ε = ∆ φ ∆ t , (∆ t → 0) .
Углы выражаются в радианах. За положительное направление вращения принимается направление против часовой стрелки.
Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.
Рисунок 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O .
Если угловое перемещение Δ φ мало, то модуль вектора линейного перемещения ∆ s → некоторого элемента массы Δ m вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:
∆ s = r ∆ ϕ ,
в котором r – модуль радиус-вектора r → .
Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства
Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:
a = a τ = r ε .
Векторы v → и a → = a τ → направлены по касательной к окружности радиуса r .
Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.
Определение 1
Модуль ускорения выражается формулой:
a n = v 2 r = ω 2 r .
Если разделить вращающееся тело на небольшие фрагменты Δ m i , обозначить расстояние до оси вращения через r i , а модули линейных скоростей через v i , то запись формулы кинестетической энергии вращающегося тела будет иметь вид:
E k = ∑ i ν m v i 2 2 = ∑ i ∆ m (r i ω) 2 2 = ω 2 2 ∑ i ∆ m i r i 2 .
Определение 2
Физическая величина ∑ i ∆ m i r i 2 носит название момента инерции I тела относительно оси вращения. Она зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения:
I = ∑ i ∆ m i r i 2 .
В пределе при Δ m → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в С И – килограмм- метр в квадрате (к г · м 2) . Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:
E k = I ω 2 2 .
В отличие от выражения, которое мы использовали для описания кинестетической энергии поступательно движущегося тела m v 2 2 , вместо массы m в формулу входит момент инерции I . Также мы принимаем во внимание вместо линейной скорости v угловую скорость ω .
Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.
В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.
Положение x C , y C центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m 1 и m 2 , расположенными в плоскости X Y в точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 определяется выражениями:
x C = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 , y C = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 .
Рисунок 2. Центр масс C системы из двух частиц.
В векторной форме это соотношение принимает вид:
r C → = m 1 r 1 → + m 2 r 2 → m 1 + m 2 .
Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор r C → центра масс определяется выражением
r C → = ∑ m i r i → ∑ m i .
Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для r C → необходимо заменить интегралами.
Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.
Рисунок 3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A 1 , A 2 , A 3 точки подвеса.
На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.
Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.
Пример 1
Предположим. Что у нас есть колесо, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Все точки колеса во время движения перемещаются параллельно одной плоскости. Такое движение мы можем обозначить как плоское.
Определение 3Кинестетическая энергия вращающегося твердого тела при плоском движении будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, которая проведена через центр масс и располагается перпендикулярно плоскостям, в которых движутся все точки тела:
E k = m v C 2 2 + I C ω 2 2 ,
где m – полная масса тела, I C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.
Рисунок 4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью v C → и вращения с угловой скоростью ω = v C R относительно оси O , проходящей через центр масс.
В механике используется теорема о движении центра масс.
Теорема 1
Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.
На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.
Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.
Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции I C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.
Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.
Пример 2
Для примера возьмем твердое тело, форма которого произвольна. Обозначим центр масс С. Выберем систему координат Х У с началом координат 0 . Совместим центр масс и начало координат.
Одна из осей проходит через центр масс С. Вторая ось пересекает произвольно выбранную точку Р, которая расположена на расстоянии d от начала координат. Выделим некоторый малый элемент массы данного твердого тела Δ m i .
По определению момента инерции:
I C = ∑ ∆ m i (x i 2 + y i 2) , I P = ∑ m i (x i - a) 2 + y i - b 2
Выражение для I P можно переписать в виде:
I P = ∑ ∆ m i (x i 2 + y i 2) + ∑ ∆ m i (a 2 + b 2) - 2 a ∑ ∆ m i x i - 2 b ∑ ∆ m i y i .
Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.
Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.
Теорема 2
Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
I P = I C + m d 2 ,
где m – полная масса тела.
Рисунок 7. Модель момента инерции.
На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.
Рисунок 8. Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.
В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку О. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.
Δ m i – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть F i → . Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую F i τ → и радиальную F i r → . Радиальная составляющая F i r → создает центростремительное ускорение a n .
Рисунок 9. Касательная F i τ → и радиальная F i r → составляющие силы F i → действующей на элемент Δ m i твердого тела.
Касательная составляющая F i τ → вызывает тангенциальное ускорение a i τ → массы Δ m i . Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает
∆ m i a i τ = F i τ sin θ или ∆ m i r i ε = F i sin θ ,
где ε = a i τ r i – угловое ускорение всех точек твердого тела.
Если обе части написанного выше уравнения умножить на r i , то мы получим:
∆ m i r i 2 ε = F i r i sin θ = F i l i = M i .
Здесь l i – плечо силы, F i , → M i – момент силы.
Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:
∑ ∆ m i r i 2 ε = ∑ M i .
Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.
∑ M = ∑ M i в н е ш н + ∑ M i в н у т р.
Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешнихсил, которые мы будем обозначать через M . Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
Определение 4
Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими.
Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.
Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины ω → , ε → , M → определяются как векторы, направленные по оси вращения.
В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела p → . По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.
Определение 5
Момент импульса вращающегося тела – это физическая величина, которая равняется произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.
Для обозначения момента импульса используется латинская буква L .
Поскольку ε = ∆ ω ∆ t ; ∆ t → 0 , уравнение вращательного движения можно представить в виде:
M = I ε = I ∆ ω ∆ t или M ∆ t = I ∆ ω = ∆ L .
Получаем:
M = ∆ L ∆ t ; (∆ t → 0) .
Мы получили это уравнение для случая, когда I = c o n s t . Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.
Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = I ω относительно данной оси сохраняется: ∆ L = 0 , если M = 0 .
Определение 6
Следовательно,
L = l ω = c o n s t .
Так мы пришли к закону сохранения момента импульса.
Пример 3
В качестве примера приведем рисунок, на котором изображено неупругое вращательное столкновение дисков, которые насажены на общую для них ось.
Рисунок 10. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I 1 ω 1 = (I 1 + I 2) ω .
Мы имеем дело с замкнутой системой. Для любой замкнутой системы закон сохранения момента импульса будет справедливым. Он выполняется и в условиях экспериментов по механике, и в условиях космоса, когда планеты движутся по своим орбитам вокруг звезды.
Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.
Пример 4
Предположим, что у нас есть тело (шар или цилиндр), которое катится по наклонной плоскости с некоторым трением.
Рисунок 11. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.
Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести m g → и силы реакции N → относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = F т р R .
Уравнение вращательного движения:
I C ε = I C a R = M = F т р R ,
где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, I C – момент инерции относительно оси O , проходящей через центр масс.
Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:
m a = m g sin α - F т р.
Исключая из этих уравнений F т р, получим окончательно:
α = m g sin θ I C R 2 + m .
Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара I C = 2 5 m R 2 , а у сплошного однородного цилиндра I C = 1 2 m R 2 . Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Кинетическая энергия - величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех п материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить: Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоро- 1 м I 1...(ФИЗИКА. МЕХАНИКА)
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела
Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех п материальных точек (частиц), на которые это тело можно мысленно разбить (рис. 6.8) Если тело вращается вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью со, то линейная скорость любой /-той частицы,...(КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА)
(ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.)
Вращение тела вокруг неподвижной оси
Пусть твёрдое тело за время ск совершило бесконечно малый поворот на угол с/ф относительно неподвижной в данной системе отсчёта оси. Этот угол поворота с/ср является мерой изменения положения тела, вращающегося относительно неподвижной оси. По аналогии с с/r, будем называть с/ф угловым перемещением....(ФИЗИКА: МЕХАНИКА, ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ)
Аналогия между поступательным и вращательным движением
Эта аналогия обсуждалась выше и следует из подобия основных уравнений поступательного и вращательного движений. Как ускорение дается производной по времени скорости и второй производной перемещения, так и угловое ускорение дается производной по времени угловой скорости и второй производной углового перемещения....(ФИЗИКА)
Поступательное и вращательное движение
Поступательное движение Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному положению. Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении тела...(ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА)
«Физика - 10 класс»
Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?
Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.
Момент импульса.
Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).
Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, - момент импульса.
Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):
Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда
Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.
Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:
Момент импульса - векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.
Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.
Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения отсюда I(ω 2 - ω 1) = MΔt, или IΔω = MΔt.
Таким образом,
ΔL = MΔt. (6.4)
Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.
Закон сохранения момента импульса:
Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.
ΔL = 0, L = const .
Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.
Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.
Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью следующего опыта, называемого «опыт со скамьёй Жуковского». На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, проходящую через её центр, встаёт человек. Человек держит в руках гантели. Если скамью заставить вращаться, то человек может изменять скорость вращения, прижимая гантели к груди или опуская руки, а затем разводя их. Разводя руки, он увеличивает момент инерции, и угловая скорость вращения уменьшается (рис. 6.11, а), опуская руки, он уменьшает момент инерции, и угловая скорость вращения скамьи увеличивается (рис. 6.11, б).
Человек может также заставить вращаться скамью если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.
На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа - это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:
Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,
Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид
В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна
В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.
Сила трения всегда направлена вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению. Она всегда меньше силы нормального давления.
Здесь:
F
- гравитационная сила, с которой два тела притягиваются друг к другу (Ньютон),
m 1
- масса первого тела (кг),
m 2
- масса второго тела (кг),
r
- расстояние между центрами масс тел (метр),
γ
- гравитационная постоянная 6.67 · 10 -11 (м 3 /(кг · сек 2)),
Напряжённость гравитацио́нного по́ля - векторная величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению силы тяготения, действующей на тело, помещённое в данную точку поля, к гравитационной массе этого тела:
12. Изучая механику твердого тела, мы использовали понятие абсолютно твердого тела. Но в природе не существует абсолютно твердых тел, т.к. все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются
.
Деформация
называется упругой
, если после того, как на тело перестали действовать внешние силы тело восстанавливает первоначальные размеры и форму. Деформации, сохраняющиеся в теле после прекращения действия внешних сил, называютсяпластическими
(или остаточными
)
РАБОТА И МОЩНОСТЬ
Работа силы.
Работа постоянной силы, действующей на прямолинейно движущееся тело
, где - перемещение тела, - сила, действующая на тело.
В общем случае, работа переменной силы, действующей на тело, движущееся по криволинейной траектории . Работа измеряется в Джоулях [Дж].
Работа момента сил, действующего на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси
, где - момент силы, - угол поворота.
В общем случае .
Совершенная нат телом работа переходит в его кинетическую энергию.
Мощность
- это работа за единицу времени (1 с): . Мощность измеряется в Ваттах [Вт].
14.Кинети́ческая эне́ргия - энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательногодвижения.
Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, и запишем второй закон Ньютона:
Есть результирующая всех сил, действующих на тело. Скалярно умножим уравнение на перемещение частицы . Учитывая, что , Получим:
Если система замкнута, то есть , то , а величина
остаётся постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. Если система изолирована, то кинетическая энергия является интегралом движения.
Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:
Масса тела
Скорость центра масс тела
Момент инерции тела
Угловая скорость тела.
15.Потенциальная энергия - скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия сил.
16. Растяжение или сжатие пружины приводит к запасанию ее потенциальной энергии упругой деформации. Возвращение пружины к положению равновесия приводит к высвобождению запасенной энергии упругой деформации. Величина этой энергии равна:
Потенциальная энергия упругой деформации..
- работа силы упругости и изменение потенциальной энергии упругой деформации.
17.консервати́вные си́лы (потенциальные силы) - силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил) . Отсюда следует определение: консервативные силы - такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0
Диссипати́вные си́лы - силы, при действии которых на механическую систему её полная механическая энергия убывает (то есть диссипирует), переходя в другие, немеханические формы энергии, например, в теплоту.
18. Вращением вокруг неподвижной оси называется такое движение твердого тела, при котором во все время движения две его точки остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.
Момент инерции - скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,
§ m i - масса i -й точки,
§ r i - расстояние от i -й точки до оси.
Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
При повороте твердого тела, имеющего ось вращения z, под воздействием момента силы M z относительно оси z совершается работа
Полная работа при повороте на угол j равна
При постоянном моменте сил последнее выражение принимает вид:
Энергия
Энергия - мера способности тела совершить работу. Движущиеся тела обладают кинетической энергией. Поскольку существуют два основных вида движения - поступательное и вращательное, то кинетическая энергия представлена двумя формулами - для каждого вида движения. Потенциальная энергия - энергия взаимодействия. Убыль потенциальной энергии системы происходит вследствие работы потенциальных сил. Выражения для потенциальной энергии сил тяготения, тяжести и упругости, а также для кинетической энергии поступательного и вращательного движений приведены на схеме. Полная механическая энергия является суммой кинетической и потенциальной.
Импульс и момент импульса
Импульсом частицы p называется произведение массы частицы и ее скорости:
Моментом импульса L относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r , определяющего положение частицы, и ее импульса p :
Модуль этого вектора равен:
Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения z , вдоль которой направлен псевдовектор угловой скорости w .
Таблица 6
Кинетическая энергия, работа, импульс и момент импульса для различных моделей объектов и движений
Идеальная | Физические величины | |||
модель | Кинетическая энергия | Импульс | Момент импульса | Работа |
Материальная точка или твердое тело, движущееся поступательно. m - масса, v - скорость. | , | . При | ||
Твердое тело вращается с угловой скоростью w. J - момент инерции, v c - скорость движения центра масс. | . При | |||
Твердое тело совершает сложное плоское движение. J ñ - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, v c - скорость движения центра масс. w-угловая скорость. |
Момент импульса вращающегося твердого тела совпадает по направлению с угловой скоростью и определяется как
Определения этих величин (математические выражения) для материальной точки и соответствующие формулы для твердого тела при различных формах движения приведены в таблице 4.
Формулировки законов
Теорема о кинетической энергии
частицы равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу.
Приращение кинетической энергии системы тел равно работе, которую совершают все силы, действующих на все тела системы:
. (1)