Прямая на плоскости.
Общее уравнение прямой.
Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии.
Определение . Уравнение вида
F (x , y )=0 (1)
называется уравнением линии L в заданной системе координат, если этому удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Степень уравнения (1) определяет порядок линии . Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L .
Определение . Уравнение вида
Ах+Ву+С=0 (2)
при произвольных коэффициентах А , В , С (А и В одновременно не равны нулю) определяют некоторую прямую в прямоугольной системе координат. Данное уравнение называется общим уравнением прямой .
Уравнение (2) есть уравнение первой степени, таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.
Рассмотрим три частных случая, когда уравнение (2) является неполным, т.е. какой-то из коэффициентов равен нулю.
1)Если С=0 , то уравнение имеет вид Ах+Ву=0 и определяет прямую, проходящую через начало координат т.к. координаты (0,0) удовлетворяют данному уравнению.
2)Если В=0 (А≠0 ), то уравнение имеет вид Ах+С=0 и определяет прямую, параллельную оси ординат. Разрешив это уравнение относительно переменной х получим уравнение вида х=а , гдеа=-С/А , а — величина отрезка, который отсекает прямая на оси абсцисс. Если а=0 (С=0 Оу (рис.1а). Таким образом, прямая х=0 определяет ось ординат.
3)Если А=0 (В≠0 ), то уравнение имеет вид Ву+С=0 и определяет прямую, параллельную оси абсцисс. Разрешив это уравнение относительно переменной у получим уравнение вида у= b , гдеb =-С/В , b — величина отрезка, который отсекает прямая на оси ординат. Если b =0 (С=0 ), то прямая совпадает с осью Ох (рис.1б). Таким образом, прямая у=0 определяет ось абсцисс.
а) б)
Уравнение прямой в отрезках .
Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что ни один из коэффициентов не равен нулю. Перенесем коэффициент С в правую часть и разделим на -С обе части.
Используя обозначения, введенные в первом пункте, получим уравнение прямой «в отрезках »:
Оно имеет такое название потому, что числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.
Пример 2х-3у+6=0 . Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить эту прямую.
Решение
Чтобы построить эту прямую, отложим на оси Ох отрезок а=-3 , а на оси Оу отрезок b =2 . Через полученные точки проведем прямую (рис.2).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что коэффициент В не равен нулю. Выполним следующие преобразования
Уравнение (4), где k =- A / B , называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
Определение . Углом наклона данной прямой к оси Ох назовем угол α , на который нужно повернуть ось Ох , чтобы её положительное направление совпало с одним из направлений прямой.
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен угловому коэффициенту, т.е k = tgα . Докажем, что –А/В действительно равно k . Из прямоугольного треугольника ΔОАВ (рис.3) выразим tgα , выполним необходимые преобразования и получим:
Что и требовалось доказать.
Если k =0 , то прямая параллельна оси Ох , и её уравнение имеет вид у= b .
Пример . Прямая задана общим уравнением 4х+2у-2=0 . Составить для этой прямой уравнение с угловым коэффициентом.
Решение . Выполним преобразования, аналогичные описанным выше, получим:
где k=-2, b=1 .
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с данным угловым коэффициентом.
Пусть задана точка М 0 (х 0 ,у 0) прямой и её угловой коэффициент k . Запишем уравнение прямой в виде (4), где b —пока неизвестное число. Так как точка М 0 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (4): . Подставляя выражение для b в (4), получаем искомое уравнение прямой:
Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2) и под наклоном к оси Ох под углом 45 0 .
Решение . k = tgα = tg 45 0 =1 . Отсюда: .
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки М 1 (х 1 ,у 1) и М 2 (х 2 ,у 2) . Запишем уравнение прямой в виде (5), где k пока неизвестный коэффициент:
Так как точка М 2 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (5): . Выражая отсюда и подставив его в уравнение (5) получим искомое уравнение:
Если это уравнение можно переписать в виде, более удобном для запоминания:
Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М 1 (1,2) и М 2 (-2,3)
Решение . . Используя свойство пропорции, и выполнив необходимые преобразования, получим общее уравнение прямой:
Угол между двумя прямыми
Рассмотрим две прямые l 1 и l 2 :
l 1 : , , и
l 2 : , ,
φ- угол между ними (). Из рис.4 видно: .
Отсюда , или
l 2 параллельны, то φ=0 и tgφ =0 . из формулы (7) следует, что , откуда k 2 = k 1 . Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.Если прямые l 1 и l 2 перпендикулярны, то φ=π/2 , α 2 = π/2+ α 1 . . Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.
Линейность уравнения прямой и обратное утверждение.
Направляющий и нормальный векторы.
Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.
Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.
Нормальные векторы - это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости - это вектор, перпендикулярный данной плоскости.
Другими словами, нормаль - это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение - правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом - хоть прямой, хоть вектором.
Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).
Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором - той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно - и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:
· Задача . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение A 1 BC 1 . Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.
Решение . Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A 1 , B и C 1 , то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.
A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;
Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;
Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1.
Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).
Ответ : n = (− 1; 1; − 1)
· Задача . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение AA 1 C 1 C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.
Решение . В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A 1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.
Подставим вместо x, y и z координаты точки A 1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;
Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;
Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).
Ответ : n = (− 1; 1; 0)
Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 - без ущерба для общности решения и правильности ответа.
Способы задания плоскости.
Взаимное расположение плоскостей.
Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.
Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями. Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными.
Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек.
Также интересны случаи, когда несколько плоскостей пересекаются по одной прямой и несколько плоскостей пересекаются в одной точке.
Перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве.
Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки:
· через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна;
· через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых. Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат.
Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
Признак параллельности двух плоскостей дает нам еще один способ задания плоскости. Вспомним формулировку этого признака: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Следовательно, мы можем задать конкретную плоскость, если укажем точку, через которую она проходит и плоскость, которой она параллельна.
В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней.
Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать общее уравнение плоскости.
Хорошее представление о прямой линии начинается с момента, когда вместе с ее образом одновременно возникают образы ее направляющих и нормальных векторов. Аналогично, при упоминании о плоскости в пространстве, она должна представляться вместе со своим нормальным вектором. Почему так? Да потому что во многих случаях удобнее использовать нормальный вектор плоскости, чем саму плоскость.
Сначала дадим определение нормального вектора плоскости, приведем примеры нормальных векторов и необходимые графические иллюстрации. Далее поместим плоскость в прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве и научимся определять координаты нормального вектора плоскости по ее уравнению.
2.1. Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации.
Определение. Нормальный вектор плоскости - это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.
Из определения следует, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной плоскости.
Так как все нормальные векторы заданной плоскости лежат на параллельных прямых, то все нормальные векторы плоскости коллинеарны. Другими словами, если - нормальный вектор плоскости , то вектор при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором плоскости .
Также следует заметить, что любой нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
Множества нормальных векторов параллельных плоскостей совпадают, так как прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и ко второй плоскости.
Из определения перпендикулярных плоскостей и определения нормального вектора плоскости следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей перпендикулярны.
Пример нормального вектора плоскости. Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Координатные векторы являются нормальными векторами плоскостей Oyz, Oxz и Oxy соответственно. Это действительно так, потому что векторы ненулевые и лежат на координатных прямых Ox, Oy и Oz соответственно, которые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy соответственно.
2.2. Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости по уравнению плоскости.
Найдем координаты нормального вектора плоскости, если известно уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz.
Общее уравнение плоскости вида определяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, нормальным вектором которой является вектор . Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора плоскости нам достаточно иметь перед глазами общее уравнение этой плоскости.
Пример. Найдите координаты какого-либо нормального вектора плоскости .
Решение. Нам дано общее уравнение плоскости, коэффициенты перед переменными x, y и z представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой плоскости. Следовательно, - один из нормальных векторов заданной плоскости. Множество всех нормальных векторов этой плоскости можно задать как , где t - произвольное действительное число, отличное от нуля.
Пример. Плоскость задана уравнением . Определите координаты ее направляющих векторов.
Решение. Нам дано неполное уравнение плоскости. Чтобы стали видны координаты ее направляющего вектора, перепишем уравнение в виде . Таким образом, нормальный вектор этой плоскости имеет координаты , а множество всех нормальных векторов запишется как .
Уравнение плоскости в отрезках вида , как и общее уравнение плоскости, позволяет сразу записать один из нормальных векторов этой плоскости – он имеет координаты .
В заключении скажем, что с помощью нормального вектора плоскости могут быть решены различные задачи. Самыми распространенными являются задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, задачи на составление уравнения плоскости, а также задачи на нахождение угла между плоскостями и на нахождение угла между прямой и плоскостью.
Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи
Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах , кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости . Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.
Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:
Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.
Обозначения : плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве . Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.
В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .
Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.
Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа :
- Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
- Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
и мы не будем томиться долгими ожиданиями:
Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.
Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.
А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.
В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:
Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.
Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:
Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.
Аналогично:
– уравнение координатной плоскости ;
– уравнение координатной плоскости .
Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .
Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .
Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости ?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси
Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .
Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .
Завершаем обзор: уравнение плоскости проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.
И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.
Линейные неравенства в пространстве
Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости , поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.
Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства
задают полупространства
. Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.
Пример 5
Найти единичный нормальный вектор плоскости .
Решение
: Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы коллинеарны:
Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .
Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .
Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:
Согласно вышесказанному:
Ответ :
Проверка: , что и требовалось проверить.
Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока , наверное, заметили, что координаты единичного вектора – это в точности направляющие косинусы вектора
:
Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.
Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.
С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:
Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой:
В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.
Замечание 1
Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.
Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.
Можно выразить уравнение прямой и другим способом:
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ - в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.
Рисунок 1. Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:
$x \cdot \cos{\alpha} + y \cdot \sin{\alpha} - p = 0$
где $\alpha$ - угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ - расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.
Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:
- когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
- когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
- когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
- для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.
Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.
Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:
$y - y_0 = k \cdot (x - x_0)$
Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой - самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.
Определение 1
Вектором нормали к прямой, иначе говоря, нормальным вектором прямой, принято называть ненулевой вектор, перпендикулярный рассматриваемой прямой.
Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.
Обозначив нормальный вектор прямой как $\vec{n}(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как
$n_1 \cdot (x - x_n) + n_2 \cdot (y - y_0) = 0$
Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат
$Ax + By + C = 0$,
то нормальный вектор описывается формулой:
$\bar{n}(A; B)$.
При этом говорят, что координаты нормального вектора "снимаются" с уравнения прямой.
Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $\bar{p}(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $\bar{p}(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:
$\frac{x - x_0}{p_1} = \frac{y - y_0}{p_2}$
В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:
$\bar{p} \cdot \bar{n} = -B \cdot A + A \cdot B = 0 \implies \bar{p} \perp \bar{n}$
Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $\bar{n}(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$
Пример 1
Составить уравнение прямой по точке $M(-1; -3)$ и нормальному вектору $\bar(3; -1)$. Вывести уравнение направляющего вектора.
Для решения задействуем формулу $A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) = 0$
Подставив значения, получаем:
$3 \cdot (x - (-1)) - (-1) \cdot (y - (-3)) = 0$ $3 \cdot (x + 1) - (y + 3) = 0$ $3x + 3 - y - 3 = 0$ $3x - y = 0$
Проверить правильность общего уравнения прямой можно "сняв" из него координаты для нормального вектора:
$3x - y = 0 \implies A = 3; B = -1 \implies \bar{n}(A; B) = \bar{n}(3; -1),$
Что соответствует числам исходных данных.
Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка $M(-1; -3)$ уравнению $3x - y = 0$:
$3 \cdot (-1) - (-3) = 0$
Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:
$\bar{p}(-B; A) \implies \bar{p}(1; 3)$
Ответ: $3x - y = 0; \bar{p}(1; 3).$